EJERCICIOS DE DERIVADAS

1. Un estudio de productividad en el turno matinal en una cierta fábrica indica que un trabajador medio que llega al trabajo a las 8.00 a.m. habrá ensamblado Q(t)= -t³+6t²+15t  radio transistores x horas después.

¿En que momento de la mañana esta actuando el trabajador con máxima eficacia?

Cantidad de radios producida por hora= Q(t)= -t³+6t²+15t  

Para hallar el momento en que es mas eficiente, encontraremos en que hora el trabajador alcanza su mayor nivel de producción, para ello derivaremos la función de producción e igualaremos la primera derivada a cero, mientras que para demostrar que realmente es la máxima producción calcularemos la segunda derivara, la cual debe ser negativa para demostrar el máximo nivel de producción.

à   a(Q(t))/at

à  3t² -12t -15=0 à(t-5)(t+1)=0     t=5   

t no puede ser -1 ya que el tiempo no se puede expresar en unidades negativas

Ahora comprobaremos que es la máxima productividad..

     a²(Q(t))/at²  y como    t=5à -6(5)+12 =-18

2. Un fabricante ha estado vendiendo bombillas a 6 dólares cada una y, a este precio, los consumidores han estado comprando 6,000 bombillas por mes. El fabricante desearía elevar el precio y estima que por cada dólar de incremento en el precio se venderán 1,000 bombillas menos cada mes. El fabricante puede producir las bombillas a un coste de 4 dólares por bombilla. ¿A qué precio debería vender el fabricante las bombillas para generar al mayor beneficio posible?

        P₁=6              Q₁=6000

        P₂=6+x              Q₂=6000-1000x                C = 4x

Ahora estableceremos la función beneficio la cual la derivaremos para poder calcular el máximo beneficio y si la 2da derivada es negativa comprobaremos lo dicho.

B=(6+x)(6000 -1000x) – 4x

B=36000-4x-1000x²

B=αB/αt= +4-2000x à= -0.002      y     α²B/αt²= -2000 < 0     

Entonces diremos que el fabricante para obtener más beneficios lo que debe hacer es reducir el precio en 0.002 hasta 5.998

3. Un cultivador de agrios de Tambogrande estima que si se plantan 60 naranjos, la producción media por árbol será de 400 naranjas. La producción media decrecerá en 4 naranjas por árbol adicional plantado en la misma extensión. ¿Cuántos árboles debería plantar el cultivador para maximizar la producción total?

Árboles de naranja= AN₁= 60            Producción media= PM₁ = 400

AN₂ = 60 + x                                                PM₂ = 400 – 4x

Producción total = PT = (60 + x)( 400 – 4x)

PT = 2400 + 160x – 4x²

Para maximizar PT          

  

αPT/αx = 160 -8x = 0 à x= 20

αPT/αx²= -8<0

PN = 60 + x = 60 + 20 = 80