MATEMÁTICA APLICADA : noviembre 2017

EJERCICIOS DE DERIVADAS

Un estudio de productividad en el turno matinal en una cierta fábrica indica que un trabajador medio que llega al trabajo a las 8.00 a.m. habrá ensamblado Q(t)= -t³+6t²+15t radio transistores x horas después.

¿En que momento de la mañana esta actuando el trabajador con máxima eficacia?

Cantidad de radios producida por hora= Q(t)= -t³+6t²+15t

Para hallar el momento en que es mas eficiente, encontraremos en que hora el trabajador alcanza su mayor nivel de producción, para ello derivaremos la función de producción e igualaremos la primera derivada a cero, mientras que para demostrar que realmente es la máxima producción calcularemos la segunda derivara, la cual debe ser negativa para demostrar el máximo nivel de producción.

à a(Q(t))/at

à 3t² -12t -15=0 à(t-5)(t+1)=0 t=5

t no puede ser -1 ya que el tiempo no se puede expresar en unidades negativas

Ahora comprobaremos que es la máxima productividad..

a²(Q(t))/at² y como t=5à -6(5)+12 =-18

Un fabricante ha estado vendiendo bombillas a 6 dólares cada una y, a este precio, los consumidores han estado comprando 6,000 bombillas por mes. El fabricante desearía elevar el precio y estima que por cada dólar de incremento en el precio se venderán 1,000 bombillas menos cada mes. El fabricante puede producir las bombillas a un coste de 4 dólares por bombilla. ¿A qué precio debería vender el fabricante las bombillas para generar al mayor beneficio posible?

P₁=6 Q₁=6000

P₂=6+x Q₂=6000-1000x C = 4x

Ahora estableceremos la función beneficio la cual la derivaremos para poder calcular el máximo beneficio y si la 2da derivada es negativa comprobaremos lo dicho.

B=(6+x)(6000 -1000x) – 4x

B=36000-4x-1000x²

B=αB/αt= +4-2000x à= -0.002 y α²B/αt²= -2000 < 0

Entonces diremos que el fabricante para obtener más beneficios lo que debe hacer es reducir el precio en 0.002 hasta 5.998

Un cultivador de agrios de Tambogrande estima que si se plantan 60 naranjos, la producción media por árbol será de 400 naranjas. La producción media decrecerá en 4 naranjas por árbol adicional plantado en la misma extensión. ¿Cuántos árboles debería plantar el cultivador para maximizar la producción total?

Árboles de naranja= AN₁= 60 Producción media= PM₁ = 400

AN₂ = 60 + x PM₂= 400 – 4x

Producción total = PT = (60 + x)( 400 – 4x)

PT = 2400 + 160x – 4x²

Para maximizar PT

αPT/αx = 160 -8x = 0 à x= 20

αPT/αx²= -8<0

PN = 60 + x = 60 + 20 = 80

FUNCION EXPONENCIAL CON ENFOQUE EN INTERES COMPUESTO

Ejemplo 1:

Supongamos que abrimos una cuenta que paga una tasa de interés garantizada, capitalizable anualmente. Usted solo deja el dinero y dejar que el interés compuesto trabajar su magia.

El saldo de su cuenta crecerá en el futuro y se conoce como el valor futuro de su capital inicial.

Para encontrar el VF tenemos la siguiente formula:

VF: Valor futuro

V: Como el capital inicial

i: Tasa de interes del periodo de capitalizacion

n: Numero de capitalizaciones

Vesmoslo ahora con un ejemplo:

Digamos que usted quiere invertir $ 1000 en un 5% de interés compuesto anual. Al cabo de diez años, el saldo sería

FV = $ 1.000 x (1 + 0,05)ˆ10

lo que equivale a $ 1,628.89.

Si el interés se capitaliza mensualmente en vez de anualmente, se obtendría

FV = $ 1.000 x (1 + 0,05/12)ˆ120

lo que equivale a 1.647,01.

EJEMPLO 2

Calcular el ingreso de 30000 $ depositado para el término de 3 años bajo el 10% de interés anual, si al final de cada año el porcentaje se sumaban al dinero depositado.

Solución. Utilicemos la fórmula del cálculo de interés compuesto:

B = 30000(1 +	10%	)³ = 30000 · 1.1³ = 39930
	100%

El ingreso equivale a

39930 - 30000 = 9930

Resultado: el ingreso es 9930 $.

EJEMPLO 3

Calcular el ingreso de 30000 $ depositado para el término de 3 años bajo el 10% de interés anual, si al final de cada año el porcentaje se sumaban al dinero depositado.

Solución. Utilicemos la fórmula del cálculo de interés compuesto:

B = 30000(1 +	10%	)³ = 30000 · 1.1³ = 39930
	100%

El ingreso equivale a

39930 - 30000 = 9930

Resultado: el ingreso es 9930 $.

EJEMPLO 4

En un banco para el término de 3 años han depositado 30000 $ bajo el 10% de interés anual. a) Calcular ¿cuánto más beneficioso sería la variante cuándo el ingreso anual se suma a la cuenta para la cual concederá el interés que la variante cuando el interés se recoge por el cliente cada año? b) ¿Cuál será la diferencia dentro de 10 años?

Solución.

а) Para el primer caso utilicemos la fórmula de cálculo de interés compuesto:

30000(1 +	10%	)³ = 30000 · 1.1³ = 39930
	100%

en este caso el ingreso equivale

39930 - 30000 = 9930

En el segundo caso el ingreso anual equivaldrá a

30000 ·	10%	= 3000
	100%

respectivamente el ingreso por tres años equivaldrá

3000 · 3 = 9000

El primer método será más beneficioso que el segundo en

9930 - 9000 = 930 $

б) Para el primer caso utilicemos la fórmula de cálculo de interés compuesto:

30000(1 +	10%	)¹⁰ = 30000 · 1.1¹⁰ ≈ 77812.27
	100%

en este caso el ingreso equivale a

77812.27 - 30000 = 47812.27

En el segundo caso el ingreso anual equivaldrá

30000 ·	10%	= 3000
	100%

respectivamente el ingreso por diez años equivaldrá

3000 · 10 = 30000

El primer método será más beneficioso que el segundo en

47812.27 - 30000 = 17812.27 $

Resultado: a) 900 $; b) 17812.27 $.

EJEMPLO 5

Se depositan $ 8.000 en un banco que reconoce una tasa de interés del 36% anual, capitalizable mensualmente. ¿Cuál será el monto acumulado en cuatro años?

C = 8.000
n = 4 años = 48 meses
i = 0,36 anual = 0.36/12 mensual
i = 0,03 mensual
S = ?

S= 8.000(1+0.03)⁴⁸

S= 8.000(4.132252)

S= 33.058,01

EJEMPLO 6

Se deposita $ 50.000 en un banco durante 3 meses.

a) Hallar el valor final a la tasa de interés simple del 30% anual.
b) Hallar el valor final a la tasa de interés del 30% anual capitalizable mensualmente.
c) ¿Cuál es mayor?

Solución:

C = 50.000
n = 3 años
i = 0,30 anual
S = ?

S= C(1+I)ⁿ

S= 50.000(1+3*0,30)

S=95.000

C = 50.000
n = 3 años = 36 meses
i = 0,30 anual = 0,30/12 anual
i = 0,025 mensual
S = ?

S= C(1+I)ⁿ

S= C(1+0,025)³⁶

S= 50.000 (1+0,025)³⁶

S= 121.626,76

c) El mayor es el cálculo con la forma de interés compuesto. Inc. (c)

FUNCION EXPONENCIAL

1. La eficiencia de un obrero común de una fabrica determinada mediante la funcion definida por F(t)= 100 – 60e ^-0.2tdonde el obrero puede completar f(t) unidades por dia después de haber trabajado t meses.

A) ¿cuantas unidades por día puede hacer un obrero principiante?
B) ¿Cuantas unidades por día pueden complementar un trabajador con 1 año de experiencia?
C) ¿Cuantas unidades por día pueden esperarse que produzca un obrero común?

SOLUCION

A) F(0)= 100 – 60e ^-0.2(0)= 100 – 6*1 = 100 – 60 à F(0)= 40

B) F(12)= 100 – 60e ^-0.2(12) = 100 – 6e^-2.4------ 100 – 6*0 0.090718

F(12)= 100 – 5.44 à F(12) = 94.56

Un obrero con un año de experiencia puede hacer 94 unidades diarias.

C) F(t)= 100 – 60e ^-0.2t = 100 – 6e/ 60e ^-0.2t (1)

Para valores muy grandes de t, el donominador en el sustraendo en (1) también se hace muy grande y por ende la fracción tiende a 0, asi:

F(t)= 100 – 0 = 0 si t à∞

EJERCICIOS POR RESOLVER

DESIGUALDADES

1. Una fábrica está pensando si elaborar los empaques de las mangueras o seguirlas comprando. El aparato usa un juego de empaques que ha estado adquiriendo a un costo de 5UM cada juego. La fábrica estima que si las elabora, los costos fijos mensuales de la empresa aumentarán en 2.000UM y el costo debido a los materiales y la mano de obra de cada juego de empaques será de 3UM. ¿Cuál es el mínimo número de aparatos a fabricar al mes para que la elaboración de los empaques por la propia empresa signifique un ahorro de 6.000UM al mes?

2. La compañía Davis fabrica un producto que tiene un precio unitario de venta de $20 y un costo unitariode $15. Si los costos fijos son de $600,000, determine el número mínimo de unidades que deben ser vendidas para que la compañía tenga utilidades

3. Para producir una unidad de un producto nuevo, una compañía determina que el costo del material es de $250 y el de mano de obra de $4. El gasto general, sin importar el volumen de ventas, es de $5000.Si el precio para un mayorista es de $740 por unidad, determine el número mínimo de unidades que debe ser vendido para que la compañía obtenga utilidades.

4. Una compañía produce relojes despertadores. Durante una semana normal de trabajo, el costo por mano de obra para producir un reloj es de $2.00, pero si es hecho en tiempo extra su costo asciende a$3.00. El administrador ha decidido no gastar más de $25.000 por semana en mano de obra. La compañía debe producir 11,000 relojes esta semana. ¿Cuál es el mínimo número de relojes que deben ser producidos durante una semana normal de trabajo?

5. Un fabricante puede vender todas las unidades de un producto a $25 cada una. El costo C (en dólares)de producir x unidades cada semana está dado por C = 40000 + 300x - x2. ¿Cuántas unidades deberán producirse y venderse a la semana para obtener alguna utilidad?

FUNCIONES LINEALES Y CUADRATICAS

1. Una compañía fabrica dos productos, X y Y. cada uno de estos productos requiere cierto tiempo en la línea de ensamblado y otro tiempo más en el departamento de acabado. Cada artículo del tipo X requiere 5 horas de ensamblado y 2 horas de acabado, mientras que cada artículo del tipo Y requiere 3 horas de ensamblado y 4 horas de acabado. En cualquier semana, la empresa dispone de 105 horas en la línea de ensamblado y 70 horas en el departamento de acabado. La empresa puede vender todos los artículos que produce y obtener una utilidad de $200 por cada artículo de X y $160 por cada artículo de Y. calcule el número de artículos de cada tipo que deberían fabricarse a la semana con objeto de maximizar la utilidad total.

2. Si se invierten $10.000, se producen 92 artículos, si se invierten $50.500, se producen 497 artículos.

A) Escriba la función de producción P(X)

B) ¿si se invierten $8.000, cuantos artículos se producen?

C) Dibuje la gráfica de la función P(X)

3. Un carpintero puede construir libreros a un costo de $40.000 cada uno. Si el carpintero vende los libreros a x pesos la unidad. Se ha estimado que 300 -2x libreros pueden ser vendidos mensualmente.

A) Exprese la ganancia mensual por el trabajo del carpintero como una función de x

B) Utilice la función del punto A para determinar la ganancia mensual, si el precio de venta es de $110.000 por librero.

C) Trace la gráfica de la función del inciso A y estime el precio de venta por cada librero que dará la mayor ganancia mensual

FUNCIÓN EXPONENCIAL CON ENFOQUE EN INTERÉS COMPUESTO

Calcular el valor final de un capital de $ 20.000 a interés compuesto durante 15 meses y 15 días a la tasa de interés del 24% capitalizable mensualmente.

1. Se invierte $ 8.000 por un año a la tasa del 12% capitalizable mensualmente. Determinar el monto al final del año, si transcurridos 3 meses la tasa se incrementó al 18% capitalizable mensualmente.

2.Se deposita $ 10.000 en un banco que paga el 18% de interés con capitalización mensual, transcurridos 4 meses se retira $ 4.000. Hallar el importe que tendrá en el banco dentro de un año de haber realizado el depósito.

3. Calcule el monto a intereses compuestos de una capital de $8,000.00 colocado durante 10 años a una tasa de interese del 12% anual.

4. Calcule el monto a intereses compuesto y el interés compuesto de un capital de $30,000.00 colocado a una tasa de interés del 12%