- Un estudio de productividad en el turno matinal en una cierta
fábrica indica que un trabajador medio que llega al trabajo a
las 8.00 a.m. habrá ensamblado Q(t)=
-t3+6t2+15t radio transistores x
horas después.
¿En
que momento de la mañana esta actuando el trabajador con máxima eficacia?
Cantidad
de radios producida por hora= Q(t)= -t3+6t2+15t
Para
hallar el momento en que es mas eficiente, encontraremos en que hora el
trabajador alcanza su mayor nivel de producción, para ello derivaremos la
función de producción e igualaremos la primera derivada a cero, mientras que
para demostrar que realmente es la máxima producción calcularemos la segunda
derivara, la cual debe ser negativa para demostrar el máximo nivel de
producción.
à a(Q(t))/at
à 3t2
-12t -15=0 à(t-5)(t+1)=0 t=5
t
no puede ser -1 ya que el tiempo no se puede expresar en unidades negativas
Ahora
comprobaremos que es la máxima productividad..
a2(Q(t))/at2 y como t=5à -6(5)+12 =-18
- Un fabricante ha estado vendiendo bombillas a 6 dólares cada una y,
a este precio, los consumidores han estado comprando 6,000 bombillas por
mes. El fabricante desearía elevar el precio y estima que por cada dólar
de incremento en el precio se venderán 1,000 bombillas menos cada mes. El
fabricante puede producir las bombillas a un coste de 4 dólares por
bombilla. ¿A qué precio debería vender el fabricante las bombillas para
generar al mayor beneficio posible?
P1=6 Q1=6000
P2=6+x Q2=6000-1000x C
= 4x
Ahora estableceremos la
función beneficio la cual la derivaremos para poder calcular el máximo
beneficio y si la 2da derivada es negativa comprobaremos lo dicho.
B=(6+x)(6000 -1000x) –
4x
B=36000-4x-1000x2
B=αB/αt=
+4-2000x à= -0.002 y α2B/αt2=
-2000 < 0
Entonces diremos que el
fabricante para obtener más beneficios lo que debe hacer es reducir el precio
en 0.002 hasta 5.998
- Un cultivador de agrios de Tambogrande estima que si se plantan 60
naranjos, la producción media por árbol será de 400 naranjas. La
producción media decrecerá en 4 naranjas por árbol adicional plantado en
la misma extensión. ¿Cuántos árboles debería plantar el cultivador para
maximizar la producción total?
Árboles de
naranja= AN1=
60 Producción
media= PM1 = 400
AN2 =
60 + x PM2 =
400 – 4x
Producción total =
PT = (60 + x)( 400 – 4x)
PT = 2400 + 160x –
4x2
Para maximizar
PT
αPT/αx = 160 -8x = 0 à x= 20
αPT/αx2= -8<0
PN = 60 + x = 60 +
20 = 80